在【超限序数】这一数学理论体系中,存在着所谓的三类条件。
一、反自反:
即,如果a≤b,且b≤a,则a=b。
二、传递性:
即,如果a≤b,且b≤c,则a≤c。
三、完备性:
若a≤b或者b≤a,那么便不存在无法比较的情况。
事实上,一切知性生灵所知的自然数范畴到实数范畴内的‘≤’都符合这些性质。
这些性质,也正是奠定各类集合间【全序关系】的基础。
至于所谓的全序关系,便是集合层面上的比大小操作。(详见580章)
任意两个良序集合,假若可以建立一一对应关系。
那么,就可以说其是【同序数】。
其实不仅仅是序数,在庞大的数学领域中,亦存在着大量类似通过某种一一对应的变换,来建立两个对象性质相似性的定义。
其名称,也与‘同序数’这一概念颇为近似。
譬如同构,同态等等等等。
如果要将【同序数】这一概念,再进行一番更为细致也更为形象的比喻性描述,那么就可以用【银河霸主】这一大境界来作例子。
在银河霸主大境之中,若以实力高低为凭,从最低的一阶开始一路往上数。
二阶、三阶、四阶……一直数到最高的十阶顶尖霸主。
那么这套力量等级体系,就共计拥有十个阶数。
其按照实力高低,从小到大就构成了一个良序集。(良序集定义详见580章)
与此同时,自然数从1到10也能构成一个良序集。
显然,银河霸主一~十阶,与自然数1~10,是可以一一对应的。
并且这两者的对应结构,也是保持了顺序的。
所以,就可以说【银河霸主】等级体系,与自然数1到10的这个集合,为【同序数】。
也可以更简单的说成,序数是10。
由此推及到更大的层次,那么全体自然数,显然也能构成一个全序集,或者说一个良序集。
只是,其并非有限集,而是无穷集。
这个无穷集,就是最小的超限序数ω,亦是穆苍初登无穷之际的实力层次。
当然,只是祂初登无穷时的层次。
至于现在的穆苍,则早已远远凌驾在了ω级数之上不知凡几。
可是ω……就已然是切切实实的无穷大。
对于无穷大,还能怎样超越呢?
答案是,可以超越。
只不过,需要打开脑洞,展开一场思维风暴。
开始!
提问,怎样在自然数集合ω中,通过增加一个元素,来得到一个更高阶更巨大的超限序数呢?
乍一想,这好像是无法做到的。
因为在自然数集合ω中,已经存在了无穷多个元素。
若想要再加入一个元素,同时还要保持ω良序集的性质,这又该往哪里加呢?
先不要思考答案,可以将这个问题翻转一下。
翻转之后即是……能否从全体自然数ω中,拿走足够多的元素,用来构造一个更小的无穷序数呢?
只要稍微思考一下,便会知晓这一问题和【希尔伯特旅馆悖论问题】十分相似,或者说大差不差,都属于是对无穷集合的思考与讨论。
总之,即便从全体自然数集合ω中拿走任意多的元素,可只要还剩下无穷多个元素,那么ω便还是与全体自然数同序数。
既然问题已经翻转过了,那么现在,就将结论也翻转一次吧。
翻转之后便是,往ω中添加任意多元素,是毫无意义的。
即便加了,得到的也依然是与自然数集合同等大小的序数集。
所以,现在应该要怎么做呢?
要怎样做才能突破ω,到达那更高阶的无穷大层次呢?
很简单,在全体自然数【末尾】,添加一个元素。
可是,全体自然数有无穷多个,要如何操作,才能在其按照常理根本就不可能存在的所谓【末尾】,添加上一个元素呢?
注意,这就是【超限序数】理论中的关键点。
至关重要!
如果能够理解这一关键点,能够理解如何〖在全体自然数末尾添加一个元素〗这一操作。
那么便能十分容易,甚至可以说是水到渠成的完全理解穆苍现今所在的实力层次。
可若是无法理解。
那么,就将穆苍当成一般的无穷大吧。
因为对一切有限数生灵来说,无论哪一种级别的无穷大,都是没有多大区别的,都是永远无法企及的神之层次。
现在,开始脑洞。
先进行一番思考,为何要在全体自然数【末尾】添加一个元素?
原因,就在于想要得到一个比ω更大的超限序数,继而去靠近去理解穆苍所在的层次。
按照序数理论中的定义,序数必须是一个可以顺次排序的良序集。
那么想要‘扩大’一连串已然排列好的全体自然数,当然就只能在其【末尾】,进行元素添加操作。
但是按照原先全体自然数ω中自带的比大小方法,显然不可能找到任何一个会比全体自然数都大的数。
因此,这就需要略微修改一下序数理论中有关于【序关系】的定义,继而去寻找另一种比大小的方法,使得突破ω这一趟探寻,能够继续进行下去。
于是一直这样探寻下去,不断探寻下去。
最终,便可以发现在那【集合理论】体系中,天然就存在着一种比大小方法。
即是【子集】,或可称【包含】关系。
由此,就可以尝试着将自然数,通过使用【集合】的方法,进行一番再定义。
特别需要说明的是,这种方法在诸多三维宇宙的地球人类文明中,是由博弈论之父和计算机之父——约翰·冯·诺依曼创立出来的。
因为最小的集合是空集,那么就可以把0定义为空集。
即:0=?
接着对于1,便可以很自然的定义成拥有一个元素的集合。
这个元素,就是0。
即:1={?}={0}
继续,对于2,亦可以将其定义为:
2={0,1}
对于3,则可以定义为: